№ 2. Решите неравенство: a) log₁/₂(2x+1)>-2; б) (0,8)²ˣ⁻ˣ² ≥1.

Решение №1

a) log₁/₂(2x+1) > -2

• Представим -2 как логарифм по основанию 1/2:

-2 = log₁/₂(1/2)⁻² = log₁/₂(4)

• Неравенство принимает вид:

log₁/₂(2x+1) > log₁/₂(4)

• Так как основание логарифма меньше 1, знак неравенства меняется:

2x + 1 < 4

• Решаем неравенство:

2x < 3

x < 1.5

• Учитываем ОДЗ:

2x + 1 > 0

2x > -1

x > -0.5

• Объединяем решения:

-0.5 < x < 1.5

Ответ: (-0.5; 1.5)

Решение №2

б) (0,8)²ˣ⁻ˣ² ≥ 1

• Представим 1 как степень 0,8:

(0,8)²ˣ⁻ˣ² ≥ (0,8)⁰

• Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется:

2x - x² ≤ 0

• Решаем квадратное неравенство:

x² - 2x ≥ 0

x(x - 2) ≥ 0

• Находим корни:

x = 0 и x = 2

• Определяем интервалы:

x ≤ 0 или x ≥ 2

• Внимание! Показательная функция всегда положительна, поэтому нужно учесть, что выражение (0,8)²ˣ⁻ˣ² ≥ 1 имеет смысл только при (0,8)²ˣ⁻ˣ² = 1.
• Это возможно только при x=1.
• Подставим x = 1 в исходное неравенство.
• (0,8)^(2*1 - 1^2) = 0,8^(2-1) = 0,8^1 = 0,8.
• Получим, что 0,8 ≥ 1 - неверно.

Рассмотрим когда 2x - x² = 0.

• Решаем уравнение x(2 - x) = 0.
• Корни x = 0 и x = 2.

Подставим x = 0 в исходное неравенство.

• (0,8)^(2*0 - 0^2) = 0,8^(0) = 1.
• Получим, что 1 ≥ 1 - верно.

Подставим x = 2 в исходное неравенство.

• (0,8)^(2*2 - 2^2) = 0,8^(4 - 4) = 0,8^(0) = 1.
• Получим, что 1 ≥ 1 - верно.

Теперь надо проверить, может ли неравенство быть верным при каких-то других значениях x.

Т.к. функция y = (0,8)²ˣ⁻ˣ² является параболой, с ветвями направленными вниз и вершиной в точке x = 1, можно вычислить значение в этой точке.

(0,8)^(2*1 - 1^2) = 0,8^(2 - 1) = 0,8^(1) = 0,8

Значение в вершине параболы 0,8 - меньше чем 1. Получаем, что 0,8 < 1.

Таким образом, исходное неравенство может быть верно только когда (0,8)²ˣ⁻ˣ² = 1, то есть при x = 0 и x = 2.

Область определения показательной функции не накладывает ограничений на выбор х.

• Проверим x=1.

(0.8)^(2-1) >= 1.

0.8 >=1 - неверно.

• Ответ: x = 0 и x = 2.

Ответ: x=0; x=2