№ 5. Составьте уравнение той касательной к графику функции у = ln₂ x, которая проходит через начало координат.

Решение:

y = ln₂(x) = ln(x) / ln(2)

• Найдем производную функции y:

y' = 1 / (x * ln(2))

• Уравнение касательной в точке x₀:

y = y'(x₀) * (x - x₀) + y(x₀)

y = (1 / (x₀ * ln(2))) * (x - x₀) + ln(x₀) / ln(2)

• Так как касательная проходит через начало координат (0, 0), подставим x = 0 и y = 0:

0 = (1 / (x₀ * ln(2))) * (0 - x₀) + ln(x₀) / ln(2)

0 = -1 / ln(2) + ln(x₀) / ln(2)

• Решаем уравнение относительно x₀:

ln(x₀) = 1

x₀ = e

• Теперь найдем уравнение касательной:

y'(e) = 1 / (e * ln(2))

y = (1 / (e * ln(2))) * (x - e) + ln(e) / ln(2)

y = x / (e * ln(2)) - 1 / ln(2) + 1 / ln(2)

y = x / (e * ln(2))