№ 4. Окружность с центром в точке О радиусом 12 см описана около треугольника MNK так, что ∠MON=120°, ∠NOK=90°. Найдите стороны MN и NK треугольника.

Радиус окружности R = 12 см.

∠MON = 120°, ∠NOK = 90°.

Найдем ∠MOK = 360° - ∠MON - ∠NOK = 360° - 120° - 90° = 150°

Используем теорему косинусов для треугольников MON и NOK.

Для треугольника MON:

$$MN^2 = MO^2 + NO^2 - 2 cdot MO cdot NO cdot cos∠MON$$ $$MN^2 = 12^2 + 12^2 - 2 cdot 12 cdot 12 cdot cos120°$$ $$MN^2 = 144 + 144 - 288 cdot (-0.5)$$ $$MN^2 = 288 + 144$$ $$MN^2 = 432$$ $$MN = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}$$

Для треугольника NOK:

$$NK^2 = NO^2 + OK^2 - 2 cdot NO cdot OK cdot cos∠NOK$$ $$NK^2 = 12^2 + 12^2 - 2 cdot 12 cdot 12 cdot cos90°$$ $$NK^2 = 144 + 144 - 288 cdot 0$$ $$NK^2 = 288$$ $$NK = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$$

Ответ: MN = 12√3 см, NK = 12√2 см