№ 2. Рисунок 1. Дано: AB: AC=5:3. Найдите ∠ BOC, ∠ ABC.

Пусть AB = 5x, AC = 3x. ∠A = 60°.

По теореме косинусов для треугольника ABC:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 cdot AB cdot AC cdot cosA$$ $$BC^2 = (5x)^2 + (3x)^2 - 2 cdot 5x cdot 3x cdot cos60°$$ $$BC^2 = 25x^2 + 9x^2 - 30x^2 cdot \frac{1}{2}$$ $$BC^2 = 34x^2 - 15x^2$$ $$BC^2 = 19x^2$$ $$BC = x\sqrt{19}$$

По теореме синусов:

$$\frac{BC}{sinA} = \frac{AC}{sinB}$$ $$\frac{x\sqrt{19}}{sin60°} = \frac{3x}{sinB}$$ $$sinB = \frac{3x cdot sin60°}{x\sqrt{19}} = \frac{3 cdot (\sqrt{3}/2)}{\sqrt{19}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{19}} = \frac{3\sqrt{57}}{38}$$ $$∠B = arcsin(\frac{3\sqrt{57}}{38}) ≈ 36.87°$$

Тогда угол ∠C = 180° - 60° - 36.87° = 83.13°

∠ABC = 36.87°

∠BOC - центральный угол, опирающийся на дугу BC. ∠BAC - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. Центральный угол в два раза больше вписанного угла.

∠BOC = 2 * ∠BAC = 2 * ∠A = 2 * 60° = 120°.

Ответ: ∠BOC = 120°, ∠ABC ≈ 36.87°