№ 5. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 110 км, первый теплоход отправился с постоянной скоростью, а через 1 ч после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым.

Пусть $$v$$ - скорость первого теплохода (в км/ч). Тогда скорость второго теплохода равна $$v + 1$$ (км/ч). Время, которое первый теплоход затратил на путь от A до B, равно $$\frac{110}{v}$$ (часов). Второй теплоход выехал на 1 час позже и прибыл одновременно с первым, значит, время в пути второго теплохода равно $$\frac{110}{v+1} = \frac{110}{v} - 1$$ (часов). Решим уравнение: $$\frac{110}{v+1} = \frac{110}{v} - 1$$ Умножим обе части уравнения на $$v(v+1)$$, чтобы избавиться от знаменателей: $$110v = 110(v+1) - v(v+1)$$ $$110v = 110v + 110 - v^2 - v$$ $$0 = 110 - v^2 - v$$ $$v^2 + v - 110 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Дискриминант $$D = 1^2 - 4(1)(-110) = 1 + 440 = 441$$ Корни уравнения: $$v_1 = \frac{-1 + \sqrt{441}}{2} = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ и $$v_2 = \frac{-1 - 21}{2} = -11$$. Отрицательная скорость не имеет смысла, значит, $$v = 10$$ км/ч. Скорость второго теплохода равна $$v + 1 = 10 + 1 = 11$$ км/ч. Ответ: 11 км/ч