№ 4. Периметр равнобедренного треугольника равен 26 см, а одна его сторон — 8 см. Найдите две другие стороны треугольника. Сколько решений имеет задача?

№ 4.

Пусть периметр равнобедренного треугольника равен $$P = 26$$ см, и одна из его сторон равна $$a = 8$$ см.

Рассмотрим два случая:

1. Пусть $$a$$ - основание равнобедренного треугольника. Тогда две другие стороны равны между собой и обозначим их за $$b$$. Периметр треугольника $$P = a + b + b = a + 2b$$. Отсюда: $$2b = P - a$$ $$b = \frac{P - a}{2} = \frac{26 - 8}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ см.

   В этом случае две другие стороны равны 9 см.

2. Пусть $$a$$ - боковая сторона равнобедренного треугольника. Тогда другая боковая сторона также равна 8 см. Обозначим основание треугольника за $$c$$. Периметр треугольника $$P = a + a + c = 2a + c$$. Отсюда: $$c = P - 2a = 26 - 2 \cdot 8 = 26 - 16 = 10$$ см.

   В этом случае основание треугольника равно 10 см, а боковые стороны по 8 см.

Оценим, существует ли такой треугольник. Для этого воспользуемся неравенством треугольника: сумма любых двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны.

• В первом случае стороны 8 см, 9 см и 9 см. $$8 + 9 > 9$$, то есть неравенство выполняется.

• Во втором случае стороны 8 см, 8 см и 10 см. $$8 + 8 > 10$$, то есть неравенство выполняется.

Оба решения существуют.

Ответ: Задача имеет 2 решения.

• Первый случай: 8 см, 9 см, 9 см.
• Второй случай: 8 см, 8 см, 10 см.