№ 3. Решите треугольник BCD, если ∠B = 45°, ∠D = 60°, ВС = √3см.

Решение треугольника BCD:

1. Найдем угол C: $$∠C = 180° - ∠B - ∠D = 180° - 45° - 60° = 75°$$.


2. Применим теорему синусов: $$\frac{BC}{\sin D} = \frac{CD}{\sin B} = \frac{BD}{\sin C}$$.


3. Найдем сторону CD: $$\frac{\sqrt{3}}{\sin 60°} = \frac{CD}{\sin 45°}$$, $$CD = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 45°}{\sin 60°} = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{2}$$ см.


4. Найдем сторону BD: $$\frac{\sqrt{3}}{\sin 60°} = \frac{BD}{\sin 75°}$$, $$BD = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 75°}{\sin 60°}$$.

Используем формулу $$\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$ для нахождения $$\sin 75° = \sin (45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$.

Тогда $$BD = \frac{\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{2}$$ см.

Ответ: ∠C = 75°, CD = $$\sqrt{2}$$ см, BD = $$(\sqrt{6} + \sqrt{2})/2$$ см.