№ 4. Треугольник CDE задан координатами своих вершин: С(2; 2), D(6; 5), E(5; -2). а) Докажите, что А CDE- равнобедренный. 6) Найдите биссектрису, проведенную из вершины С.

а) Докажем, что треугольник CDE равнобедренный.

1. Найдем длины сторон треугольника CDE:


2. CD = $$\sqrt{(6 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$.


3. DE = $$\sqrt{(5 - 6)^2 + (-2 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$.


4. CE = $$\sqrt{(5 - 2)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$.

Так как CD = CE = 5, то треугольник CDE равнобедренный с основанием DE.

б) Найдем биссектрису, проведенную из вершины С.

Для нахождения уравнения биссектрисы угла C воспользуемся свойством биссектрисы, согласно которому биссектриса делит угол на два равных угла. Найдем координаты точки F на стороне DE, которая делит ее в отношении CD/CE. Так как CD=CE, то биссектриса будет являться медианой, а точка F - серединой DE.

1. Координаты точки F: $$F = (\frac{6+5}{2}; \frac{5+(-2)}{2}) = (\frac{11}{2}; \frac{3}{2}) = (5.5; 1.5)$$.


2. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки C(2; 2) и F(5.5; 1.5):


3. Уравнение прямой имеет вид: $$y = kx + b$$.


4. Найдем угловой коэффициент k: $$k = \frac{1.5 - 2}{5.5 - 2} = \frac{-0.5}{3.5} = -\frac{1}{7}$$.


5. Найдем свободный член b: $$2 = -\frac{1}{7} \cdot 2 + b$$, $$b = 2 + \frac{2}{7} = \frac{16}{7}$$.

Уравнение биссектрисы: $$y = -\frac{1}{7}x + \frac{16}{7}$$.

Ответ: a) Треугольник CDE - равнобедренный. б) Уравнение биссектрисы: $$y = -\frac{1}{7}x + \frac{16}{7}$$.