№ 8. В арифметической прогрессии а21= -62, а45= -158. Найти первый член прогрессии, разность и сумму с десятого по пятидесятый член включительно.

Решение:

• Найдем разность арифметической прогрессии (d).

\[ a_{45} = a_{21} + (45 - 21)d \]

\[ -158 = -62 + 24d \]

\[ 24d = -158 + 62 \]

\[ 24d = -96 \]

\[ d = -4 \]

• Найдем первый член прогрессии (a_1).

\[ a_{21} = a_1 + (21 - 1)d \]

\[ -62 = a_1 + 20(-4) \]

\[ -62 = a_1 - 80 \]

\[ a_1 = -62 + 80 \]

\[ a_1 = 18 \]

• Найдем сумму с десятого по пятидесятый член включительно.

Сначала найдем 10-й и 50-й члены:

\[ a_{10} = a_1 + (10 - 1)d = 18 + 9(-4) = 18 - 36 = -18 \]

\[ a_{50} = a_1 + (50 - 1)d = 18 + 49(-4) = 18 - 196 = -178 \]

Сумма с 10-го по 50-й член:

\[ S = \frac{a_{10} + a_{50}}{2} \cdot (50 - 10 + 1) \]

\[ S = \frac{-18 + (-178)}{2} \cdot 41 \]

\[ S = \frac{-196}{2} \cdot 41 \]

\[ S = -98 \cdot 41 \]

\[ S = -4018 \]

Ответ: a_1 = 18, d = -4, S = -4018