№6. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые АВ и CD пересекаются в точке К, BK=14, DK=10, BC=21. Найдите AD.

Решение:

• По теореме о секущихся, если из точки К проведены две секущие к окружности, то произведение внешней части секущей на всю секущую для одной секущей равно произведению внешней части секущей на всю секущую для другой секущей.
• То есть, \(KB \cdot KA = KD \cdot KC\).
• \(KB = 14\), \(KD = 10\), \(BC = 21\).
• Обозначим AD за х.
• \(KA = KB + BA\) и \(KC = KD + DC\).
• Используем свойство подобных треугольников: \(\triangle KBC \sim \triangle KDA\).
• Значит, \(\frac{KB}{KD} = \frac{BC}{AD}\)
• \(\frac{14}{10} = \frac{21}{AD}\)
• \(AD = \frac{21 \cdot 10}{14} = \frac{210}{14} = 15\)

Ответ: AD = 15