№4. На рисунке АВ=BC, CD=DK, угол АВС=106°, угол ВАС=37°. Найдите угол DKC.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна 180°.

1. В треугольнике ABC AB = BC, значит, треугольник ABC - равнобедренный. Угол BAC = углу BCA = 37°.
2. Угол ABC = 180° - угол BAC - угол BCA = 180° - 37° - 37° = 106°.
3. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, угол ABC + угол BAC + угол BCA = 180°.
4. Угол ACB = 180° - угол ABC - угол BAC = 180° - 106° - 37° = 37°.
5. Угол BCD = угол ACB + угол ACD = 37° + угол ACD.
6. Угол ACD = 180° - угол ACB - угол BCD.
7. Угол ACD = угол ACB = 37°, значит, треугольник ACD - равнобедренный.
8. Угол ADC = 180° - угол ACD - угол CAD = 180° - 37° - 37° = 106°.
9. В треугольнике CDK CD = DK, значит, треугольник CDK - равнобедренный.
10. Угол DCK = углу DKC.
11. Угол CDK = 180° - угол ACD - угол ADC = 180° - 37° - 106° = 37°.
12. Угол DKC = (180° - угол CDK) / 2 = (180° - 37°) / 2 = 143° / 2 = 71,5°.

Ответ: 71,5°