№3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) параболой у=(x-2)2, прямыми х=0 и х= 3 и осью Ох. *б) графиком функции у=4/x при х<0, параболой y = x2+4x-1.

Шаг 1: Записываем интеграл для площади.
\[S = \int_{0}^{3} (x-2)^2 dx\]

Шаг 2: Вычисляем интеграл.
\[S = \int_{0}^{3} (x^2 - 4x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_{0}^{3}\]
\[= \left( \frac{3^3}{3} - 2(3^2) + 4(3) \right) - \left( \frac{0^3}{3} - 2(0^2) + 4(0) \right)\]
\[= \left( \frac{27}{3} - 18 + 12 \right) - 0 = 9 - 18 + 12 = 3\]

Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков функций. Так как x < 0, то ищем точки пересечения на отрицательной полуоси.
\[\frac{4}{x} = x^2 + 4x - 1\]
\[4 = x^3 + 4x^2 - x\]
\[x^3 + 4x^2 - x - 4 = 0\]
\[x^2(x + 4) - (x + 4) = 0\]
\[(x^2 - 1)(x + 4) = 0\]
\[(x - 1)(x + 1)(x + 4) = 0\]
Корни: x = 1, x = -1, x = -4. Так как x < 0, то берем x = -1 и x = -4.

Шаг 2: Определим, какая функция больше на интервале [-4, -1].

Шаг 3: Вычисляем интеграл.
\[S = \int_{-4}^{-1} \left( \frac{4}{x} - (x^2 + 4x - 1) \right) dx = \int_{-4}^{-1} \left( \frac{4}{x} - x^2 - 4x + 1 \right) dx\]
\[= \left[ 4\ln|x| - \frac{x^3}{3} - 2x^2 + x \right]_{-4}^{-1}\]
\[= \left( 4\ln|-1| - \frac{(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 + (-1) \right) - \left( 4\ln|-4| - \frac{(-4)^3}{3} - 2(-4)^2 + (-4) \right)\]
\[= \left( 0 + \frac{1}{3} - 2 - 1 \right) - \left( 4\ln 4 + \frac{64}{3} - 32 - 4 \right)\]
\[= \left( \frac{1}{3} - 3 \right) - \left( 4\ln 4 + \frac{64}{3} - 36 \right) = \frac{1}{3} - 3 - 4\ln 4 - \frac{64}{3} + 36\]
\[= 33 - \frac{63}{3} - 4\ln 4 = 33 - 21 - 4\ln 4 = 12 - 4\ln 4 = 12 - 8\ln 2\]