№2. Вычислите интеграл: a) -1∫1 (x³-3x² + 2) dx π/4∫0 cos 2x dx 4∫1 5√x / x dx π/2∫-π/6 6 / cos² 2x dx 4∫-3 √x-3 dx

a) Вычисляем интеграл ∫₋₁¹ (x³ - 3x² + 2) dx
\[\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 2) dx = \left[ \frac{x^4}{4} - x^3 + 2x \right]_{-1}^{1}\]
\[= \left( \frac{1^4}{4} - 1^3 + 2(1) \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - (-1)^3 + 2(-1) \right)\]
\[= \left( \frac{1}{4} - 1 + 2 \right) - \left( \frac{1}{4} + 1 - 2 \right)\]
\[= \left( \frac{1}{4} + 1 \right) - \left( \frac{1}{4} - 1 \right)\]
\[= \frac{1}{4} + 1 - \frac{1}{4} + 1 = 2\]

б) Вычисляем интеграл ∫₀^(π/4) cos 2x dx
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos 2x \, dx = \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\]
\[= \frac{1}{2} \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) - \frac{1}{2} \sin (0)\]
\[= \frac{1}{2} \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - 0\]
\[= \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}\]

в) Вычисляем интеграл ∫₁⁴ (5√x / x) dx
\[\int_{1}^{4} \frac{5\sqrt{x}}{x} dx = 5 \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{x}}{x} dx = 5 \int_{1}^{4} x^{-\frac{1}{2}} dx\]
\[= 5 \left[ 2\sqrt{x} \right]_{1}^{4} = 5 \left( 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} \right)\]
\[= 5 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1) = 5 (4 - 2) = 5 \cdot 2 = 10\]

г) Вычисляем интеграл ∫₋(π/6)^(π/2) 6 / cos² 2x dx
\[\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{6}{\cos^2 2x} dx = 6 \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos^2 2x} dx\]
\[= 6 \left[ \frac{1}{2} \tan 2x \right]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} = 3 \left[ \tan 2x \right]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\]
\[= 3 \left( \tan \pi - \tan \left( -\frac{\pi}{3} \right) \right) = 3 \left( 0 - (-\sqrt{3}) \right) = 3\sqrt{3}\]

д) Вычисляем интеграл ∫₋₃⁴ √x-3 dx
Этот интеграл не существует в области вещественных чисел, так как подкоренное выражение x - 3 становится отрицательным на интервале интегрирования [-3, 4]. Следовательно, подынтегральная функция не определена на этом интервале.