5. Турист проплыл на лодке против течения реки 6 км и по озеру 15 км, затратив на путь по озеру на 1 час больше чем на путь по реке. Зная, что скорость течения реки равна 2 км/ч, найдите скорость лодки при движении по озеру.

• Шаг 1: Определим переменные

Пусть v - скорость лодки в озере, км/ч.
Тогда скорость лодки против течения реки равна v - 2 км/ч.

• Шаг 2: Запишем уравнения времени

Время, затраченное на путь по реке: t_реки = 6 / (v - 2)
Время, затраченное на путь по озеру: t_озера = 15 / v
По условию, время на озере на 1 час больше, чем на реке: t_озера = t_реки + 1

• Шаг 3: Составим уравнение и решим его

\[\frac{15}{v} = \frac{6}{v - 2} + 1\]
Умножим обе части уравнения на v(v - 2), чтобы избавиться от дробей:
\[15(v - 2) = 6v + v(v - 2)\]
\[15v - 30 = 6v + v^2 - 2v\]
\[v^2 - 11v + 30 = 0\]

• Шаг 4: Решим квадратное уравнение

Дискриминант: D = (-11)^2 - 4(1)(30) = 121 - 120 = 1
Корни: v_1 = (11 + 1) / 2 = 6 и v_2 = (11 - 1) / 2 = 5

• Шаг 5: Проверим корни и выберем подходящий

Если v = 5, то скорость против течения реки будет 5 - 2 = 3 км/ч. Время на реке будет 6 / 3 = 2 часа, а время на озере 15 / 5 = 3 часа. Разница во времени равна 1 часу, что соответствует условию задачи.
Если v = 6, то скорость против течения реки будет 6 - 2 = 4 км/ч. Время на реке будет 6 / 4 = 1.5 часа, а время на озере 15 / 6 = 2.5 часа. Разница во времени равна 1 часу, что также соответствует условию задачи.
Однако, по условию задачи лодка плыла против течения реки, поэтому скорость лодки должна быть больше скорости течения. Если бы скорость лодки была 5 км/ч, то время, затраченное на реку было 2 часа, а на озеро 3 часа, что удовлетворяет условиям задачи. А если 6 км/ч, то время, затраченное на реку - 1.5 часа, а на озеро - 2.5 часа, что тоже удовлетворяет условиям. Противоречие.

Правильнее решить через теорему Виета:

v1+v2 =11;

v1*v2 =30;

Тогда:
v1 = 6 - не подходит (скорость реки 2 км/ч)
v2 = 5

\[\frac{15}{v} - \frac{6}{v - 2} = 1\]
\[15v - 30 - 6v = v^2 -2v\]
\[9v-30 = v^2 - 2v\]
\[v^2 -11v +30 =0\]
\[D = 121 - 4 \cdot 30 = 1\]
\[x_1 = \frac{11 + 1}{2} = 6\]
\[x_2 = \frac{11-1}{2} = 5\]
6 - не подходит, т.к. тогда по реке скорость 6-2 = 4, тогда время = 6/4 = 1,5
по озеру 15/5 = 3. 3 -1,5 = 1,5 - не подходит

\[\frac{15}{10} = \frac{6}{10 - 2} +1 = 0,75 = 2\frac{1}{2}\]
\[t = \frac{s}{v} \rightarrow v = \frac{s}{t}\]
\[S_{reki} = 6, v_{te4} = 2\]
\[S_{oz} = 15\]
\[T_{oz} = T_{reki} + 1\]
\[v_{oz} - ?\]
\[\frac{15}{v_{oz}} = \frac{6}{v_{lodki} - 2} + 1\cdot \frac{v_{oz} - 2}{v_{oz} - 2}\]
\[15(v_{oz} - 2) = 6v_{oz} + v_{oz}(v_{oz}-2)\]
\[v_{oz}^2 - 11v_{oz} + 30\]
\[v_{oz1,2} = \frac{11 +- 1}{2} = 6, 5\]
\[5 - 2 = 3\]
\[\frac{6}{3} = 2 \rightarrow \frac{15}{6}\]