№4 Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 3 см, вокруг большего катета.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 3 см вокруг большего катета (4 см) получается конус, радиус основания которого равен меньшему катету (3 см), а высота равна большему катету (4 см).

1. Найдем образующую конуса:
   \(l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) см.
2. Найдем площадь боковой поверхности конуса:
   \(S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi\) см².
3. Найдем площадь основания конуса:
   \(S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi\) см².
4. Найдем площадь полной поверхности конуса:
   \(S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 15\pi + 9\pi = 24\pi \approx 24 \cdot 3.14 = 75.36\) см².

Ответ: \(24\pi \approx 75.36\) см².