№1 В правильной четырехугольной пирамиде апофема образует с плоскостью основания угол 60°. Высота пирамиды равна 6 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

Решение:

Пусть h – высота пирамиды, a – сторона основания, l – апофема, а угол между апофемой и плоскостью основания равен 60°. Тогда:

1. Найдем половину стороны основания пирамиды:
   \(\frac{a}{2} = h \cdot tg(60^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3}\) см. Следовательно, \(a = 12\sqrt{3}\) см.
2. Найдем площадь основания:
   \(S_{осн} = a^2 = (12\sqrt{3})^2 = 144 \cdot 3 = 432\) см².
3. Найдем апофему пирамиды:
   \(l = \frac{h}{cos(60^\circ)} = \frac{6}{0.5} = 12\) см.
4. Найдем площадь боковой поверхности:
   \(S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot l = \frac{1}{2} (4 \cdot 12\sqrt{3}) \cdot 12 = 24 \cdot 12 \sqrt{3} = 288\sqrt{3}\) см².
5. Найдем площадь полной поверхности пирамиды:
   \(S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 432 + 288\sqrt{3} \approx 432 + 288 \cdot 1.73 = 432 + 497.28 = 929.28\) см².

Ответ: \(432 + 288\sqrt{3} \approx 929.28\) см².