№2 Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 12 см и 5 см, его диагональ образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда.

Решение:

Пусть стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны a = 12 см и b = 5 см, а угол между диагональю и плоскостью основания равен 60°. Тогда:

1. Найдем диагональ основания:
   \(d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13\) см.
2. Найдем высоту параллелепипеда:
   \(h = d \cdot tg(60^\circ) = 13 \cdot \sqrt{3}\) см.
3. Найдем площадь боковой поверхности:
   \(S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 2(a + b) \cdot h = 2(12 + 5) \cdot 13\sqrt{3} = 2 \cdot 17 \cdot 13\sqrt{3} = 442\sqrt{3}\) см².
4. Найдем площадь основания:
   \(S_{осн} = a \cdot b = 12 \cdot 5 = 60\) см².
5. Найдем площадь полной поверхности:
   \(S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 442\sqrt{3} + 2 \cdot 60 = 442\sqrt{3} + 120 \approx 442 \cdot 1.73 + 120 = 764.66 + 120 = 884.66\) см².

Ответ: \(442\sqrt{3} + 120 \approx 884.66\) см².