№3. Площадь правильного треугольника равна (4\sqrt{3}) см². Найдите площадь круга, вписанного в этот треугольник.

Сначала найдём сторону правильного (равностороннего) треугольника. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: \[S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\] По условию, площадь равна (4\sqrt{3}), поэтому: \[\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\] Решим это уравнение относительно *a*: \[a^2 = 16\] \[a = 4\] Теперь найдём радиус вписанной окружности. В равностороннем треугольнике радиус вписанной окружности равен: \[r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\] Подставим значение *a*: \[r = \frac{4\sqrt{3}}{6} = \frac{2\sqrt{3}}{3}\] Площадь круга вычисляется по формуле: \[S_{\text{круга}} = \pi r^2\] Подставим значение *r*: \[S_{\text{круга}} = \pi \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \pi \cdot \frac{4 \cdot 3}{9} = \frac{4\pi}{3}\] Ответ: Площадь круга, вписанного в этот треугольник, равна (\frac{4\pi}{3}) см².