№4. В правильном шестиугольнике длина меньшей диагонали равна (6\sqrt{3}) см. Найдите длину правильного треугольника, равновеликого данному шестиугольнику.

Меньшая диагональ правильного шестиугольника образует прямоугольник с двумя сторонами и равна (a\sqrt{3}), где *a* - длина стороны шестиугольника. Таким образом, (a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}), следовательно, сторона шестиугольника (a = 6) см. Площадь правильного шестиугольника равна (S = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}). Подставим значение *a*: \[S = \frac{3 \cdot 6^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \cdot 36 \cdot \sqrt{3}}{2} = 54\sqrt{3}\] Пусть сторона равновеликого правильного треугольника равна *b*. Тогда площадь треугольника равна (S = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}). Так как площади равны, имеем: \[\frac{b^2\sqrt{3}}{4} = 54\sqrt{3}\] Решим уравнение относительно *b*: \[b^2 = 4 \cdot 54 = 216\] \[b = \sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}\] Ответ: Длина стороны правильного треугольника, равновеликого данному шестиугольнику, равна (6\sqrt{6}) см.