№2. Площадь треугольника 16. Найдите площадь трапеции, которую отсекает от треугольника его средняя линия.

Решение: Пусть дан треугольник ABC, и MN - средняя линия, отсекающая трапецию AMNC. Поскольку MN - средняя линия, то она параллельна стороне AC, и (MN = \frac{1}{2} AC). Треугольники ABC и MBN подобны по двум углам (угол B общий, углы при MN и AC равны как соответственные при параллельных прямых). Коэффициент подобия (k = \frac{BM}{BA} = \frac{1}{2}), так как M - середина AB. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит, ( \frac{S_{MBN}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}). Тогда (S_{MBN} = \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{1}{4} cdot 16 = 4). Площадь трапеции AMNC равна разности площадей треугольников ABC и MBN: (S_{AMNC} = S_{ABC} - S_{MBN} = 16 - 4 = 12). Ответ: Площадь трапеции равна 12.