№4. Высота, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна 6 см и делит гипотенузу на отрезки, один из которых больше другого на 5 см. Найдите стороны треугольника.

Решение: Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, и CD - высота, проведенная к гипотенузе AB. Обозначим длину отрезка AD как x, тогда длина отрезка DB равна x + 5. Высота CD = 6 см. Используем свойства высоты в прямоугольном треугольнике. Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу: (CD^2 = AD cdot DB) Подставим известные значения: (6^2 = x cdot (x + 5)) (36 = x^2 + 5x) (x^2 + 5x - 36 = 0) Решим квадратное уравнение. Дискриминант (D = 5^2 - 4 cdot 1 cdot (-36) = 25 + 144 = 169). Корни уравнения: (x_1 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4) (x_2 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9) (не подходит, так как длина не может быть отрицательной). Значит, AD = 4 см, DB = 4 + 5 = 9 см. Тогда гипотенуза AB = AD + DB = 4 + 9 = 13 см. Теперь найдем катеты AC и BC. Используем свойство: катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и прилежащим к катету отрезком гипотенузы: (AC^2 = AD cdot AB = 4 cdot 13 = 52), значит (AC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}) см. (BC^2 = DB cdot AB = 9 cdot 13 = 117), значит (BC = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}) см. Ответ: Стороны треугольника равны (2\sqrt{13}) см, (3\sqrt{13}) см и 13 см.