№5. Решите неравенства с помощью графика квадратичной функции: a) 2x²-7x-9≥0; б) х²-6x + 90≥0; в) 4х2+3x+2<0.

№5. Решите неравенства с помощью графика квадратичной функции:

a) $$2x^2 - 7x - 9 ≥ 0$$

1. Найдем корни квадратного уравнения:

$$2x^2 - 7x - 9 = 0$$

$$D = (-7)^2 - 4(2)(-9) = 49 + 72 = 121$$

$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{121}}{2(2)} = \frac{7 + 11}{4} = \frac{18}{4} = 4.5$$

$$x_2 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2(2)} = \frac{7 - 11}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

1. Определим интервалы:

(-∞; -1], [-1; 4.5], [4.5; +∞)

Так как коэффициент при x² положителен (2 > 0), парабола направлена вверх. Значит, функция больше или равна нулю на интервалах (-∞; -1] и [4.5; +∞).

б) $$x^2 - 6x + 9 ≥ 0$$

1. Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2 - 6x + 9 = 0$$

$$D = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$$

$$x = \frac{6}{2} = 3$$

1. Определим интервалы:

(-∞; 3], [3; +∞)

Так как коэффициент при x² положителен (1 > 0), парабола направлена вверх. Функция всегда больше или равна нулю, за исключением точки x=3, где она равна нулю. Значит, решение - любое x.

в) $$4x^2 + 3x + 2 < 0$$

1. Найдем корни квадратного уравнения:

$$4x^2 + 3x + 2 = 0$$

$$D = (3)^2 - 4(4)(2) = 9 - 32 = -23$$

Так как дискриминант отрицательный, корней нет. Коэффициент при x² положителен (4 > 0), значит, парабола направлена вверх и функция всегда больше нуля. Следовательно, решений нет.

Ответ: a) (-∞; -1] ∪ [4.5; +∞), б) x ∈ R, в) нет решений