№4. Решите неравенство методом интервалов: a) (x+11)(x+3)(x-8) <0; 6) (x-2)(x+2)(4x-20 ≥0; B) (2х - 5)(x²- 8х +7)<0.

№4. Решите неравенство методом интервалов:

a) (x+11)(x+3)(x-8) <0

1. Найдем нули функции:

$$x+11=0 => x=-11$$

$$x+3=0 => x=-3$$

$$x-8=0 => x=8$$

1. Рассмотрим интервалы:

(-∞; -11), (-11; -3), (-3; 8), (8; +∞)

1. Определим знаки на каждом интервале:

На интервале (-∞; -11), например, при x = -12: (-12+11)(-12+3)(-12-8) = (-)(-)(-) = -

На интервале (-11; -3), например, при x = -4: (-4+11)(-4+3)(-4-8) = (+)(-)(-) = +

На интервале (-3; 8), например, при x = 0: (0+11)(0+3)(0-8) = (+)(+)(-) = -

На интервале (8; +∞), например, при x = 9: (9+11)(9+3)(9-8) = (+)(+)(+) = +

1. Выбираем интервалы, где функция меньше 0:

(-∞; -11) и (-3; 8)

б) (x-2)(x+2)(4x-20) ≥0

1. Найдем нули функции:

$$x-2=0 => x=2$$

$$x+2=0 => x=-2$$

$$4x-20=0 => 4x=20 => x=5$$

1. Рассмотрим интервалы:

(-∞; -2), (-2; 2), (2; 5), (5; +∞)

1. Определим знаки на каждом интервале:

На интервале (-∞; -2), например, при x = -3: (-3-2)(-3+2)(4(-3)-20) = (-)(-)(-) = -

На интервале (-2; 2), например, при x = 0: (0-2)(0+2)(4(0)-20) = (-)(+)(-) = +

На интервале (2; 5), например, при x = 3: (3-2)(3+2)(4(3)-20) = (+)(+)(-) = -

На интервале (5; +∞), например, при x = 6: (6-2)(6+2)(4(6)-20) = (+)(+)(+) = +

1. Выбираем интервалы, где функция больше или равна 0:

[-2; 2] и [5; +∞)

в) (2x - 5)(x²- 8x +7)<0

1. Найдем нули функции:

$$2x - 5 = 0 => 2x = 5 => x = \frac{5}{2} = 2.5$$

$$x^2 - 8x + 7 = 0$$

По теореме Виета: x₁ + x₂ = 8, x₁ * x₂ = 7 => x₁ = 1, x₂ = 7

1. Рассмотрим интервалы:

(-∞; 1), (1; 2.5), (2.5; 7), (7; +∞)

1. Определим знаки на каждом интервале:

На интервале (-∞; 1), например, при x = 0: (2(0) - 5)((0)² - 8(0) + 7) = (-)(+) = -

На интервале (1; 2.5), например, при x = 2: (2(2) - 5)((2)² - 8(2) + 7) = (-)(-) = +

На интервале (2.5; 7), например, при x = 3: (2(3) - 5)((3)² - 8(3) + 7) = (+)(-) = -

На интервале (7; +∞), например, при x = 8: (2(8) - 5)((8)² - 8(8) + 7) = (+)(+) = +

1. Выбираем интервалы, где функция меньше 0:

(-∞; 1) и (2.5; 7)

Ответ: a) (-∞; -11) ∪ (-3; 8), б) [-2; 2] ∪ [5; +∞), в) (-∞; 1) ∪ (2.5; 7)