№3 Решите неравенство методом интервалов: a) (x+11)(x+3)(x-8) <0; б) (x-2)·(x+2)·(4x-20)≥0; в) x²-7x+10/x+6 ≤ 0.

№3 Решите неравенство методом интервалов:

a) $$(x+11)(x+3)(x-8) <0$$

Находим нули функции:

$$x+11=0 \Rightarrow x=-11$$

$$x+3=0 \Rightarrow x=-3$$

$$x-8=0 \Rightarrow x=8$$

Отмечаем нули на числовой прямой и определяем знаки функции на каждом интервале:

        +            -             +           -
---------------------------------------------------------
------(-11)--------(-3)--------(8)---------------------> x

Выбираем интервалы, где функция меньше нуля.

Ответ: $$x \in (-\infty; -11) \cup (-3; 8)$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; -11) \cup (-3; 8)$$

б) $$(x-2) \cdot (x+2) \cdot (4x-20)≥0$$

Находим нули функции:

$$x-2=0 \Rightarrow x=2$$

$$x+2=0 \Rightarrow x=-2$$

$$4x-20=0 \Rightarrow 4x=20 \Rightarrow x=5$$

Отмечаем нули на числовой прямой и определяем знаки функции на каждом интервале:

        +           -             +           -
---------------------------------------------------------
------(-2)--------(2)--------(5)---------------------> x

Выбираем интервалы, где функция больше или равна нулю.

Ответ: $$x \in [-2; 2] \cup [5; +\infty)$$.

Ответ: $$x \in [-2; 2] \cup [5; +\infty)$$

в) $$\frac{x^2-7x+10}{x+6} ≤ 0$$

Разложим квадратный трехчлен на множители. Найдем корни квадратного трехчлена $$x^2-7x+10=0$$

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$$

$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{9}}{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{7 - \sqrt{9}}{2} = \frac{7 - 3}{2} = 2$$

Значит, $$x^2-7x+10 = (x-5)(x-2)$$. Тогда, неравенство примет вид:

$$\frac{(x-5)(x-2)}{x+6} ≤ 0$$

Находим нули функции:

$$x-5=0 \Rightarrow x=5$$

$$x-2=0 \Rightarrow x=2$$

$$x+6=0 \Rightarrow x=-6$$

Отмечаем нули на числовой прямой и определяем знаки функции на каждом интервале:

        +           -             +           -
---------------------------------------------------------
------(-6)--------(2)--------(5)---------------------> x

Выбираем интервалы, где функция меньше или равна нулю.

Ответ: $$x \in (-\infty; -6) \cup [2; 5]$$.

Ответ: $$x \in (-\infty; -6) \cup [2; 5]$$