№4. Решите задачу. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 108 км, первый теплоход отправился с постоянной скоростью, а через 3 ч после этого следом за ним со скоростью, на 3 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым.

Пусть ( v ) - скорость первого теплохода (в км/ч). Тогда скорость второго теплохода равна ( v + 3 ) км/ч.

Время, которое первый теплоход был в пути, равно ( t = \frac{108}{v} ) часов.

Второй теплоход был в пути на 3 часа меньше, то есть ( t - 3 = \frac{108}{v+3} ) часов.

Получаем уравнение:

$$ \frac{108}{v} - 3 = \frac{108}{v+3} $$

Умножим обе части уравнения на ( v(v+3) ):

$$ 108(v+3) - 3v(v+3) = 108v $$ $$ 108v + 324 - 3v^2 - 9v = 108v $$ $$ -3v^2 - 9v + 324 = 0 $$

Разделим обе части на -3:

$$ v^2 + 3v - 108 = 0 $$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант ( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-108) = 9 + 432 = 441 ).

Тогда ( \sqrt{D} = \sqrt{441} = 21 ).

Корни:

$$ v_1 = \frac{-3 + 21}{2} = \frac{18}{2} = 9 $$ $$ v_2 = \frac{-3 - 21}{2} = \frac{-24}{2} = -12 $$

Так как скорость не может быть отрицательной, то ( v = 9 ) км/ч - скорость первого теплохода.

Тогда скорость второго теплохода ( v + 3 = 9 + 3 = 12 ) км/ч.

Ответ: 12 км/ч