№5*. В параллелограмме АBCD ∠A = 60°, диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ. Прямая, проходящая через середину отрезка BD - точку М - параллельно AD, пересекает сторону АВ в точке К, МК = 4 см. Найдите площадь треугольника AMD.

Для решения данной задачи необходимо знать свойства параллелограмма и формулу площади треугольника.

1. Т.к. диагональ $$BD$$ перпендикулярна стороне $$AB$$, то угол $$ABD = 90°$$. Так как в параллелограмме угол $$A = 60°$$, то угол $$ADB = 180° - 90° - 60° = 30°$$.
2. Так как $$MK$$ параллельна $$AD$$ и проходит через середину $$BD$$, то $$MK$$ - средняя линия треугольника $$ABD$$. Значит, $$AD = 2 \cdot MK = 2 \cdot 4 = 8$$ см.
3. Найдем высоту треугольника $$ABD$$, опущенную из вершины $$B$$ на сторону $$AD$$. Она равна $$AB$$. Треугольник $$ABD$$ - прямоугольный. Значит $$AB = AD \cdot sin(30°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$ см.
4. Площадь треугольника $$ABD = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16$$ см².
5. Так как $$M$$ - середина $$BD$$, то площади треугольников $$AMD$$ и $$AMB$$ равны половине площади $$ABD$$, то есть 8 см². Площадь треугольника $$AMD$$ равна половине площади треугольника $$ABD$$.

Ответ: 8 см².