№5*. В параллелограмме ABCD ∠A = 60°, диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ. Прямая, проходящая через середину отрезка BD точку М параллельно AD, пересекает сторону АВ в точке К, МК = 4 см. Найдите площадь треугольника AMD.

Определим площадь треугольника AMD.

Рассмотрим параллелограмм ABCD. Диагональ BD перпендикулярна стороне АВ. Следовательно, треугольник ABD - прямоугольный. $$\angle$$А = 60°, значит, $$\angle$$D = 120°.

Сумма углов прилежащих к одной стороне параллелограмма равна 180°.

Прямая, проходящая через середину отрезка BD точку М параллельно AD, пересекает сторону АВ в точке К, МК = 4 см. Следовательно, МК - средняя линия треугольника ABD.

AD = 2MK = 2 \cdot 4 = 8 см.

Высота треугольника AMD, проведенная из вершины М, равна половине высоты параллелограмма, проведенной из вершины B.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. $$\angle$$А = 60°, значит, $$\angle$$ADB = 30°.

AB = AD \cdot sin(30°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 см.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

S_ABCD = AD \cdot AB = 8 \cdot 4 = 32 см².

Площадь треугольника AMD равна:

S_AMD = \frac{1}{2} S_ABD = \frac{1}{4} S_ABCD = \frac{1}{4} \cdot 32 = 8 см².

Ответ: 8 см².