№9. В прямоугольном треугольнике с острым углом 45° гипотенуза равна 5√2 см. Найдите площадь прямоугольного треугольника.

Так как один из острых углов равен 45°, то второй острый угол также равен 45° (90° - 45° = 45°). Значит, это равнобедренный прямоугольный треугольник, и его катеты равны. Пусть катет равен a. По теореме Пифагора, $$a^2 + a^2 = (5\sqrt{2})^2$$ $$2a^2 = 25 * 2$$ $$2a^2 = 50$$ $$a^2 = 25$$ $$a = 5$$ Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. $$S = \frac{1}{2} * a * a = \frac{1}{2} * 5 * 5 = \frac{25}{2} = 12.5$$ Ответ: 12.5 см²