№5*. В равнобедренной трапеции ABCD AD||BC, ∠A = 30°, высота ВК = 1 см, ВС = 2√3 см. Найдите площадь треугольника KMD, если М — середина отрезка BD.

№5*. Дано: равнобедренная трапеция ABCD, AD||BC, ∠A = 30°, высота ВК = 1 см, ВС = $$2\sqrt{3}$$ см, М – середина отрезка BD.

Найти площадь треугольника KMD.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике АВК, ВК = 1 см, ∠А = 30°, следовательно, АВ = 2ВК = 2 см.
2. Из прямоугольного треугольника АВК, по теореме Пифагора, АК = $$\sqrt{AB^2 - BK^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$$ см.
3. Т.к. AD = 2AK + BC, AD = $$2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$ см.
4. Площадь трапеции: S = $$\frac{BC + AD}{2} \cdot BK = \frac{2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = 3\sqrt{3}$$ см².
5. Т.к. М – середина BD, площадь треугольника BCD составляет половину площади трапеции, т.е. = $$\frac{1}{2} S = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$ см².
6. Т.к. точка К лежит на высоте трапеции, а точка М – середина BD, то площадь треугольника KMD = $$\frac{1}{4}$$ площади BCD.
7. Площадь треугольника KMD = $$\frac{1}{4} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$$ см².

Ответ: площадь треугольника KMD равна $$\frac{3\sqrt{3}}{8}$$ см².