№5*. В равнобедренной трапеции ABCD AD||BC, ∠A = 30°, высота ВК = 1 см, ВС = 2√3 см. Найдите площадь треугольника M — середина отрезка BD.

№5*. Дано: трапеция ABCD, AD||BC, ∠A = 30°, BK = 1 см, BC = $$2\sqrt{3}$$ см, M - середина BD.

Найти: площадь треугольника ABM.

Решение:

1. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, то есть ∠A = ∠D = 30°.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. В нем ∠A = 30°, BK = 1 см. Тогда AB = 2 * BK = 2 * 1 = 2 см (катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы).
3. Найдем AK из прямоугольного треугольника ABK: $$AK = \sqrt{AB^2 - BK^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \text{ см}$$.
4. Т.к трапеция равнобедренная, то KD = AK = $$\sqrt{3}$$ см. Тогда AD = BC + 2 * AK = $$2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$ см.
5. Площадь трапеции ABCD = $$ \frac{BC + AD}{2} \cdot BK = \frac{2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = 3\sqrt{3}$$ см².
6. AM - медиана треугольника ABD. Медиана делит треугольник на два равновеликих, значит площадь треугольника ABM = 1/2 * площади треугольника ABD.
7. Площадь треугольника ABD = 1/2 * AD * BK = 1/2 * 4√3 * 1 = 2√3.
8. Площадь треугольника ABM = 1/2 * 2√3 = √3.

Ответ: √3 см²