№10. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

Это задача на сочетания. Каждый шахматист сыграл с каждым другим по одной партии, то есть нам нужно выбрать 2 шахматиста из 15. Решение: Используем формулу сочетаний (C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}), где n = 15, k = 2. \[ C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2!13!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105 \] Ответ: 105 партий.