№4. В треугольнике АВС ∠A = 100°, ∠C = 40°. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок СК - биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ.

a) Докажем, что треугольник ABC — равнобедренный, и укажем его боковые стороны.

Найдем угол B:

$$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 100° - 40° = 40°$$

Так как ∠B = ∠C = 40°, то треугольник ABC равнобедренный с боковыми сторонами AB и AC.

б) Отрезок CK - биссектриса данного треугольника. Найдем углы, которые она образует со стороной AB.

Так как CK - биссектриса угла C, то ∠ACK = ∠BCK = ∠C / 2 = 40° / 2 = 20°.

Рассмотрим треугольник ACK. В этом треугольнике:

$$∠AKC = 180° - ∠A - ∠ACK = 180° - 100° - 20° = 60°$$

∠BKC - смежный с углом ∠AKC, следовательно:

$$∠BKC = 180° - ∠AKC = 180° - 60° = 120°$$

Ответ: Треугольник ABC равнобедренный с боковыми сторонами AB и AC; ∠AKC = 60°, ∠BKC = 120°