№5. В треугольнике АВС известно, что ∠C=90°, ∠A=60°. На катете ВС отметили точку К такую, что ∠АКС=60°. Найдите отрезок СК, если ВК=12 см.

Рассмотрим треугольник ABC: ∠C = 90°, ∠A = 60°, значит ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°.

Рассмотрим треугольник AKC: ∠C = 90°, ∠AKC = 60°, значит ∠KAC = 180° - 90° - 60° = 30°.

Тогда ∠BAK = ∠A - ∠KAC = 60° - 30° = 30°.

Получается, что AK - биссектриса угла A.

Рассмотрим треугольник ABK: ∠BAK = 30°, ∠B = 30°, значит треугольник ABK - равнобедренный, и AK = BK = 12 см.

Рассмотрим треугольник AKC: tg(∠AKC) = AC / CK, значит CK = AC / tg(∠AKC).

Рассмотрим треугольник ABC: tg(∠B) = AC / BC, значит AC = BC * tg(∠B).

BC = BK + CK, значит AC = (BK + CK) * tg(∠B).

Подставим AC в CK = AC / tg(∠AKC):

CK = ( (BK + CK) * tg(∠B) ) / tg(∠AKC).

CK = ( (12 + CK) * tg(30°) ) / tg(60°).

Известно, что tg(30°) = \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), tg(60°) = \(\sqrt{3}\).

CK = ( (12 + CK) * \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) ) / \(\sqrt{3}\).

CK = (12 + CK) / 3.

3CK = 12 + CK.

2CK = 12.

CK = 6 см.