№4. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если AD = 24 см, ВС = 16 см, ∠A = 45°, ∠D = 90°.

Для решения задачи нужно вспомнить формулу площади трапеции.

Площадь трапеции: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$, где

• S - площадь трапеции,
• a и b - основания трапеции,
• h - высота трапеции.

В данной трапеции AD и BC - основания. Высота трапеции - это перпендикуляр, опущенный из вершины B на основание AD. Обозначим эту точку H. Тогда ABH - прямоугольный треугольник, в котором угол A равен 45 градусам, следовательно, угол ABH тоже равен 45 градусам, и треугольник ABH - равнобедренный, то есть AH = BH = h.

Рассмотрим отрезок HD. HD = AD - AH = 24 - h. Так как угол D равен 90 градусам, высота трапеции BH является катетом прямоугольного треугольника BHD. Так как HD = AD - AH = 24 - h и BH = h, можем записать BH = h.

Проведём высоту CK к AD. Тогда AKCD - прямоугольник, следовательно, KD = BC = 16 см, и AH = AD - KD = 24 - 16 = 8 см. Поскольку AH = BH = 8 см, высота трапеции h = 8 см.

1. Площадь трапеции равна $$\frac{24 + 16}{2} \cdot 8 = \frac{40}{2} \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160$$ кв. см.

Ответ: 160 кв. см.