08.12. Решите уравнение: а) 27^(√(x − 1)) = √(9^(x + 1)); б) 2^(√(13 − x²)) = √2 · √32; в) 3^x · (1/3)^(√(x + 1)) = 243; г) (0,1^(√(x + 1)))^(√(x + 6)) = 1/10⁶.

а) Область определения: \(x\ge1\). Приводим к основанию 3: \(3^{3\sqrt{x-1}}=3^{(x+1)/2}\), поэтому \(6\sqrt{x-1}=x+1\). Возводим в квадрат: \(36(x-1)=(x+1)^2\), откуда \(x=17\pm12\sqrt2\). Условию исходного уравнения удовлетворяет только \(x=17+12\sqrt2\).

б) Правая часть равна \(\sqrt{64}=8=2^3\). Следовательно, \(\sqrt{13-x^2}=3\), откуда \(x^2=4\) и \(x=\pm2\).

в) Область определения: \(x\ge-1\). После перехода к основанию 3: \(x-\sqrt{x+1}=5\). Положив \(t=\sqrt{x+1}\ge0\), получаем \(t^2-t-6=0\), откуда \(t=3\) и \(x=8\).

г) Область определения: \(x\ge-1\). Левая часть равна \(0,1^{\sqrt{(x+1)(x+6)}}\), правая — \(0,1^6\). Поэтому \((x+1)(x+6)=36\), то есть \(x^2+7x-30=0\). Корни: \(x=3\) и \(x=-10\); области определения удовлетворяет только \(x=3\).

Ответ: а) 17 + 12√2; б) ±2; в) 8; г) 3.