1. (11 баллов) Три бегуна стартуют в одном направлении на одну дистанцию с интервалом в 1 секунду. Скорость стартовавшего первым 6 м/сек, вторым - 7 м/сек, третьим - 8 м/сек. Третий бегун финишировал первым, и в момент его финиша сумма расстояний от него до двух остальных бегунов не превышала двух метров. Найдите длину дистанции.

Пусть $$t$$ - время, которое бежал третий бегун до финиша. Тогда первый бегун бежал время $$t+2$$, а второй $$t+1$$. Расстояние, которое пробежал каждый бегун, равно его скорости, умноженной на время бега. Расстояние, которое пробежал первый бегун: $$s_1 = 6(t+2)$$. Расстояние, которое пробежал второй бегун: $$s_2 = 7(t+1)$$. Расстояние, которое пробежал третий бегун: $$s_3 = 8t$$. Так как третий бегун финишировал первым, то $$s_3$$ - это и есть длина дистанции. Также известно, что в момент финиша третьего бегуна сумма расстояний от него до двух остальных бегунов не превышала двух метров. Это значит, что $$|s_3 - s_1| + |s_3 - s_2| \le 2$$. Подставляем наши значения: $$|8t - 6(t+2)| + |8t - 7(t+1)| \le 2$$ $$|8t - 6t - 12| + |8t - 7t - 7| \le 2$$ $$|2t - 12| + |t - 7| \le 2$$ Теперь рассмотрим несколько случаев: Случай 1: $$t \ge 7$$ $$2t - 12 + t - 7 \le 2$$ $$3t \le 21$$ $$t \le 7$$. Значит, $$t=7$$. Длина дистанции: $$8t = 8 \times 7 = 56$$ Проверим условие: $$|2 \times 7 - 12| + |7-7| = |14 - 12| + 0 = 2$$. Случай 2: $$6 \le t < 7$$ $$2t - 12 - (t-7) \le 2$$ $$2t - 12 - t + 7 \le 2$$ $$t - 5 \le 2$$ $$t \le 7$$, подходит. Случай 3: $$t < 6$$ $$-(2t - 12) - (t - 7) \le 2$$ $$-2t + 12 - t + 7 \le 2$$ $$-3t + 19 \le 2$$ $$-3t \le -17$$ $$t \ge \frac{17}{3} = 5 \frac{2}{3}$$. Это не подходит, так как $$t<6$$ Значит, t=7 и длина дистанции 56 метров Ответ: 56