4. (13 баллов) Известно, что для некоторого натурального a числа 4a+5 и 3a-10 делятся на число pq, где p и q – простые. Найдите все такие p и q.

Пусть 4a+5 = k*pq и 3a-10=m*pq, где k и m - целые числа. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4: 12a+15=3kpq и 12a-40=4mpq. Вычитаем второе уравнение из первого: 12a+15-(12a-40)=3kpq-4mpq => 55=(3k-4m)pq. Так как p и q простые, а 55=5*11, то pq может быть равно 5*11 или 1*55(но 55 не простое) или 5*1, 11*1. Тогда варианты для pq: p=5, q=11 или p=11, q=5. Проверим, существуют ли такие p и q для каких-то значений a. Пусть p=5, q=11, тогда 4a+5 делится на 55 и 3a-10 делится на 55. 4a+5=55k => 4a=55k-5 => 4a=5(11k-1). Так как 4a должно делиться на 5, то а должно делиться на 5. a=5n. 3(5n) - 10 = 55m => 15n-10 = 55m => 3n - 2 = 11m. Если n=8, то 24-2=22=11*2, m=2, тогда а=40. Проверим: 4*40+5=165=3*55, 3*40-10=110=2*55. Ответ: p=5, q=11 или p=11, q=5