5. (10 баллов) В распоряжении лаборанта Максима имеются два сосуда с жидкостями, плотности которых ρ₁=600 кг/м³ и ρ₂=800 кг/м³. Максим обратил внимание, что если один и тот же шарик поочередно полностью опускать в данные жидкости, то для удержания шарика в равновесии, необходимо прикладывать одну и ту же силу. Определите плотность материала шарика.

Пусть $$V$$ - объем шарика, $$\rho$$ - плотность материала шарика, $$g$$ - ускорение свободного падения. При погружении шарика в жидкость на него действуют сила тяжести $$F_т = \rho Vg$$, сила Архимеда $$F_A = \rho_ж Vg$$ и сила, с которой его удерживают в равновесии $$F$$. Так как шарик находится в равновесии, то сумма сил равна нулю: $$F + F_A - F_т = 0$$, или $$F = F_т - F_A$$. В первом случае: $$F = \rho Vg - \rho_1 Vg = Vg(\rho - \rho_1)$$. Во втором случае: $$F = \rho Vg - \rho_2 Vg = Vg(\rho - \rho_2)$$. Так как сила $$F$$ одинакова в обоих случаях, то $$Vg(\rho - \rho_1) = Vg(\rho - \rho_2)$$. Упрощаем: $$\rho - \rho_1 = \rho - \rho_2$$. Подставляем известные значения: $$\rho - 600 = \rho - 800$$. $$\rho - 600 = \rho - 800$$. $$\rho - \rho_1 = \rho - \rho_2 $$. $$\rho_1 + \rho_2 = 2\rho$$. $$\rho = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2} = \frac{600 + 800}{2} = \frac{1400}{2} = 700$$ кг/м³. Ответ: 700 кг/м³