3. (13 баллов) В треугольнике ABC со сторонами AB=6, BC=5, AC=4 проведён серединный перпендикуляр к биссектрисе AD, который пересекает прямую BC в точке E. Найдите BE:CE.

Пусть серединный перпендикуляр к биссектрисе AD пересекает AD в точке M. Точка M является серединой AD. Также, по свойству серединного перпендикуляра, $$AE = DE$$. Так как AD - биссектриса, то по свойству биссектрисы $$\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$$. Подставляем длины сторон: $$\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = \frac{BD}{CD}$$. Поскольку $$BC = 5$$, то $$BD = 3$$ и $$CD = 2$$. Рассмотрим треугольники ABE и CDE. $$angle AED = angle CEB$$ (вертикальные углы). Углы $$angle EAD = angle EDA$$, так как $$ riangle ADE$$ - равнобедренный. А так как AD биссектриса $$angle BAD = angle CAD$$ и $$angle EDA = angle EAD$$, то $$angle BAD = angle EDA$$. Так как EM – серединный перпендикуляр к AD, то треугольник AED равнобедренный и $$angle EAD = angle EDA$$. Так как AD – биссектриса угла BAC, то $$angle BAD = angle CAD$$. Обозначим $$angle EAD = alpha$$, тогда $$angle EDA = alpha$$, $$angle BAD = alpha$$ и $$angle CAD = alpha$$. $$angle AED = 180 - 2\alpha$$. Тогда $$angle BED = 180 - (180 - 2\alpha) = 2\alpha$$. Треугольники ABE и CDE подобны. Из подобия треугольников $$\frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE}$$. Так как $$AE = DE$$, то $$\frac{BE}{AE} = \frac{6}{2} = 3$$, то есть $$BE = 3AE$$. Тогда $$\frac{AE}{CE} = 3$$. Тогда $$CE = \frac{1}{3}AE$$. Так как $$AE=DE$$, $$\frac{BE}{DE}=\frac{AB}{CD}=\frac{6}{2}=3$$. А значит $$BE=3DE=3AE$$. Известно, что $$BC=5$$, $$BD=3$$ и $$CD=2$$, $$BE = x$$, $$CE = y$$. Тогда $$rac{BE}{CE} = \frac{BD}{CD} * \frac{AB}{AC} = 3 * 1.5 = \frac{9}{2}$$. Так как E лежит на стороне BC, то $$BE+EC = BC$$, то есть $$x+y = 5$$, $$x = rac{9}{2}y$$. $$ rac{9}{2}y + y = 5$$. $$rac{11}{2}y = 5$$, $$y = rac{10}{11}$$. $$x = 5 - rac{10}{11} = rac{45}{11}$$. $$\frac{BE}{CE} = \frac{x}{y} = \frac{\frac{45}{11}}{\frac{10}{11}} = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$$. Ответ: 9:2