1. (2 балла). Решите уравнение \(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x^2-4} = \frac{8}{x+2}\).

Решение:

Найдем общий знаменатель для всех дробей. Заметим, что \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \). Общий знаменатель: \( (x-2)(x+2) \).

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, предварительно проверив ОДЗ: \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).

\[ \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{7}{(x-2)(x+2)} = \frac{8(x-2)}{(x-2)(x+2)} \]

Уберем знаменатели:

\[ x(x+2) - 7 = 8(x-2) \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + 2x - 7 = 8x - 16 \]

Перенесем все члены в одну сторону:

\[ x^2 + 2x - 8x - 7 + 16 = 0 \]

\[ x^2 - 6x + 9 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0 \]

Так как \( D = 0 \), уравнение имеет один корень:

\[ x = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \]

Проверим ОДЗ: \( 3 \neq 2 \) и \( 3 \neq -2 \). Корень подходит.

Ответ: x = 3.