1.21. Найдите общий вид первообразных: 1) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}+\sin(3-\frac{x}{4})$; 2) $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-5}}+\cos(2+\frac{x}{3})$; 3) $f(x)=\frac{3}{2\sqrt{3-4x}}+\frac{1}{(x+2)^3}$; 4) $f(x)=\frac{4}{5\sqrt{2+3x}}-\frac{1}{(2-x)^4}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.21. Найдите общий вид первообразных: 1) $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}+\sin(3-\frac{x}{4})$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

Интегрируем слагаемые заменой переменной: $F(x)=2\sqrt{x+2}+4\cos(3-\frac{x}{4})+C$, при $x>-2$.
$F(x)=\sqrt{x-5}+3\sin(2+\frac{x}{3})+C$, при $x>5$.
Для первого слагаемого берём $u=3-4x$, для второго — степенную первообразную: $F(x)=-\frac34\sqrt{3-4x}-\frac{1}{2(x+2)^2}+C$, при $x<\frac34$, $x\ne-2$.
$F(x)=\frac{8}{15}\sqrt{2+3x}-\frac{1}{6(2-x)^3}+C$, при $x>-\frac23$, $x\ne2$.

1.21. Найдите общий вид первообразных: 1) \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}+\sin(3-\frac{x}{4})\); 2) \(f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-5}}+\cos(2+\frac{x}{3})\); 3) \(f(x)=\frac{3}{2\sqrt{3-4x}}+\frac{1}{(x+2)^3}\); 4) \(f(x)=\frac{4}{5\sqrt{2+3x}}-\frac{1}{(2-x)^4}\).