1.22. Найдите общий вид первообразных: 1) $f(x)=\cos^2\frac{x}{3}-\sin^2\frac{x}{3}$; 2) $f(x)=\sin\frac{x}{4}\cdot\cos\frac{x}{4}$; 3) $f(x)= g\frac{x}{8}\cdot\ctg\frac{x}{8}+x^2$; 4) $f(x)=1-2\sin^2\frac{x}{6}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1.22. Найдите общий вид первообразных: 1) $f(x)=\cos^2\frac{x}{3}-\sin^2\frac{x}{3}$; 2)…$ Фото задания

Accepted Answer

По тождеству $\cos^2u-\sin^2u=\cos 2u$: $F(x)=\frac32\sin\frac{2x}{3}+C$.
Используем $\sin u\cos u=\frac12\sin 2u$: $F(x)=-\cos\frac{x}{2}+C$.
На области определения $ g\frac{x}{8}\cdot\ctg\frac{x}{8}=1$, поэтому $f(x)=1+x^2$. Тогда $F(x)=x+\frac{x^3}{3}+C$, где исходное выражение определено.
По формуле $1-2\sin^2u=\cos 2u$: $F(x)=3\sin\frac{x}{3}+C$.

1.22. Найдите общий вид первообразных: 1) \(f(x)=\cos^2\frac{x}{3}-\sin^2\frac{x}{3}\); 2) \(f(x)=\sin\frac{x}{4}\cdot\cos\frac{x}{4}\); 3) \(f(x)= g\frac{x}{8}\cdot\ctg\frac{x}{8}+x^2\); 4) \(f(x)=1-2\sin^2\frac{x}{6}\).