1.221. Докажите, что значение выражения (18/√7+1 + 6/√7-2 - 8/(3-√7))(√7+11) является целым числом.

Решение:

Рассмотрим выражение в скобках:

\( \frac{18}{\sqrt{7}+1} + \frac{6}{\sqrt{7}-2} - \frac{8}{3-\sqrt{7}} \)

Приведём к общему знаменателю. Заметим, что \( 3 - \sqrt{7} = -(\sqrt{7}-3) \), и \( (\sqrt{7}-2)(3-\sqrt{7}) = 3\sqrt{7} - 7 - 6 + 2\sqrt{7} = 5\sqrt{7} - 13 \), что не упрощает задачу.

Рационализируем знаменатели дробей:

\( \frac{18}{\sqrt{7}+1} = \frac{18(\sqrt{7}-1)}{(\sqrt{7}+1)(\sqrt{7}-1)} = \frac{18(\sqrt{7}-1)}{7-1} = \frac{18(\sqrt{7}-1)}{6} = 3(\sqrt{7}-1) = 3\sqrt{7}-3 \)

\( \frac{6}{\sqrt{7}-2} = \frac{6(\sqrt{7}+2)}{(\sqrt{7}-2)(\sqrt{7}+2)} = \frac{6(\sqrt{7}+2)}{7-4} = \frac{6(\sqrt{7}+2)}{3} = 2(\sqrt{7}+2) = 2\sqrt{7}+4 \)

\( \frac{8}{3-\sqrt{7}} = \frac{8(3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{8(3+\sqrt{7})}{9-7} = \frac{8(3+\sqrt{7})}{2} = 4(3+\sqrt{7}) = 12+4\sqrt{7} \)

Теперь подставим полученные выражения обратно:

\( (3\sqrt{7}-3) + (2\sqrt{7}+4) - (12+4\sqrt{7}) = 3\sqrt{7}-3 + 2\sqrt{7}+4 - 12-4\sqrt{7} \)

Сгруппируем слагаемые:

\( (3\sqrt{7}+2\sqrt{7}-4\sqrt{7}) + (-3+4-12) = \sqrt{7} + (-11) = \sqrt{7}-11 \)

Теперь умножим на \( \sqrt{7}+11 \):

\( (\sqrt{7}-11)(\sqrt{7}+11) = (\sqrt{7})^2 - 11^2 = 7 - 121 = -114 \)

Так как -114 является целым числом, значение выражения действительно является целым числом.

Ответ: Значение выражения равно -114, что является целым числом.