1.222. Разложите на множители: a) 5+√5; б) √3-3; в) 7√6+6; г) √3-√6; д) √10+√2; е) √15-7√3.

Решение:

a) \( 5 + \sqrt{5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} = \sqrt{5}(\sqrt{5}+1) \)

б) \( \sqrt{3} - 3 = \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}(1 - \sqrt{3}) \)

в) \( 7\sqrt{6} + 6 = 7\sqrt{6} + \sqrt{36} \) — здесь трудно вынести общий множитель. Возможно, имелось в виду \( 7\sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{6}(7+\sqrt{6}) \), или \( 6 = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} \), но \( 7 = \sqrt{49} \) и \( \sqrt{6} \) общего множителя нет. Предположим, что \( 6 = \sqrt{36} \) и \( \sqrt{6} = \sqrt{2}\sqrt{3} \). Тогда \( 7\sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{36} \). Если вынести \( \sqrt{6} \), то \( 7\sqrt{6} + 6 \) — это выражение не раскладывается на простые множители легко. Если предполагать, что \( 6 \) можно представить как \( \sqrt{6}\sqrt{6} \), то \( 7\sqrt{6} + \sqrt{6}\sqrt{6} = \sqrt{6}(7+\sqrt{6}) \). Это наиболее вероятный вариант разложения.

г) \( \sqrt{3} - \sqrt{6} = \sqrt{3} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}(1 - \sqrt{2}) \)

д) \( \sqrt{10} + \sqrt{2} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{5}+1) \)

е) \( \sqrt{15} - 7\sqrt{3} = \sqrt{5}\sqrt{3} - 7\sqrt{3} = \sqrt{3}(\sqrt{5}-7) \)

Ответ: а) \( \sqrt{5}(\sqrt{5}+1) \); б) \( \sqrt{3}(1 - \sqrt{3}) \); в) \( \sqrt{6}(7+\sqrt{6}) \) (предположительно); г) \( \sqrt{3}(1 - \sqrt{2}) \); д) \( \sqrt{2}(\sqrt{5}+1) \); е) \( \sqrt{3}(\sqrt{5}-7) \).