1.246. Вызначце вобласць дапушчальных значэнняў і спрасціце рацыянальны выраз \(\frac{5x+21}{9-x^2}+\frac{5}{x^2-9}:\frac{5}{3-x}-\frac{x+3}{3-x}\).

Знаменнікі не павінны быць роўныя нулю: \(9-x^2\ne0\), \(x^2-9\ne0\), \(3-x\ne0\). Адсюль вобласць дапушчальных значэнняў: \(x\ne-3\), \(x\ne3\). Дзельнік \(\frac{5}{3-x}\) пры гэтых значэннях таксама не роўны нулю.

Спачатку выканайма дзяленне:

\[\frac{5}{x^2-9}:\frac{5}{3-x}=\frac{3-x}{x^2-9}=-\frac{1}{x+3}.\]

Улічым, што \(9-x^2=-(x-3)(x+3)\), а \(-\frac{x+3}{3-x}=\frac{x+3}{x-3}\). Тады

\[\begin{aligned}\frac{5x+21}{9-x^2}+\frac{5}{x^2-9}:\frac{5}{3-x}-\frac{x+3}{3-x}&=-\frac{5x+21}{(x-3)(x+3)}-\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}+\frac{(x+3)^2}{(x-3)(x+3)}\\&=\frac{-(5x+21)-(x-3)+(x+3)^2}{(x-3)(x+3)}=1.\end{aligned}\]

Адказ: вобласць дапушчальных значэнняў — \(x\ne-3,3\); выраз роўны 1.