1.248. Дакажыце, што значэнне выразу не залежыць ад значэнняў зменных: а) \(\left(a-\frac{a^2+b^2}{a+b}\right)\cdot\left(\frac1b+\frac{2}{a-b}\right)\); б) \(\left(\frac{m+n}{m-n}-\frac{m-n}{m+n}\right):\frac{4mn}{n^2-m^2}\).

а) Выраз вызначаны пры \(a+b\ne0\), \(b\ne0\), \(a-b\ne0\). Спрасцім кожную дужку:

\[a-\frac{a^2+b^2}{a+b}=\frac{a(a+b)-(a^2+b^2)}{a+b}=\frac{b(a-b)}{a+b},\]

\[\frac1b+\frac{2}{a-b}=\frac{a-b+2b}{b(a-b)}=\frac{a+b}{b(a-b)}.\]

Таму

\[\frac{b(a-b)}{a+b}\cdot\frac{a+b}{b(a-b)}=1.\]

Значэнне выразу заўсёды роўнае 1 для дапушчальных значэнняў зменных.

б) Выраз вызначаны пры \(m-n\ne0\), \(m+n\ne0\), а дзельнік павінен быць ненулявым, таму таксама \(m\ne0\), \(n\ne0\). Рознасць дробаў у дужках:

\[\frac{m+n}{m-n}-\frac{m-n}{m+n}=\frac{(m+n)^2-(m-n)^2}{(m-n)(m+n)}=\frac{4mn}{m^2-n^2}.\]

Паколькі \(n^2-m^2=-(m^2-n^2)\), маем

\[\frac{4mn}{m^2-n^2}:\frac{4mn}{n^2-m^2}=-1.\]

Значэнне выразу заўсёды роўнае \(-1\) для дапушчальных значэнняў зменных.