1.247. Выканайце пераўтварэнне рацыянальнага выразу: а) \(\left(\frac{1}{4c-16}-\frac{4}{c^2-16}-\frac{1}{2c+8}\right)\cdot(c^2-8c+16)\); б) \(\left(\frac{5a}{a+1}-\frac{3a}{a^2+2a+1}\right):\frac{5a+2}{a^2-1}+\frac{a-1}{a+1}\). Ці будзе гэты выраз атрыманым у выніку пераўтварэння рацыянальнага выразу цэлым?

а) Вобласць дапушчальных значэнняў: \(c\ne4\), \(c\ne-4\). Звядзём дроб у дужках да агульнага назоўніка:

\[\begin{aligned}\frac{1}{4(c-4)}-\frac{4}{(c-4)(c+4)}-\frac{1}{2(c+4)}&=\frac{c+4-16-2(c-4)}{4(c-4)(c+4)}\\&=-\frac{1}{4(c-4)}.\end{aligned}\]

Тады

\[ -\frac{1}{4(c-4)}(c-4)^2=-\frac{c-4}{4}=\frac{4-c}{4}.\]

б) Абмежаванні: \(a\ne-1\), \(a\ne1\); акрамя таго, дзяліць на \(\frac{5a+2}{a^2-1}\) можна толькі пры \(5a+2\ne0\), гэта значыць \(a\ne-\frac25\).

Спрасцім выраз у дужках:

\[\frac{5a}{a+1}-\frac{3a}{(a+1)^2}=\frac{5a(a+1)-3a}{(a+1)^2}=\frac{a(5a+2)}{(a+1)^2}.\]

Выканаем дзяленне і дададзім апошні дроб:

\[\begin{aligned}\frac{a(5a+2)}{(a+1)^2}:\frac{5a+2}{(a-1)(a+1)}+\frac{a-1}{a+1}&=\frac{a(a-1)}{a+1}+\frac{a-1}{a+1}\\&=\frac{a^2-1}{a+1}=a-1.\end{aligned}\]

Першы вынік \(\frac{4-c}{4}\) — цэлы рацыянальны выраз. Другі вынік \(a-1\) таксама цэлы рацыянальны выраз.