1.54. Примените свойства степени и вычислите: a) 0,75¹⁰ : (3/4)⁹; б) 1,5¹³ : (-1 1/2)¹²; в) 20⁶ : (-10)⁵; г) 0,75⁶ : (-3/8)⁵; д) (-37)⁷ : 3,7⁶; e) 0,8¹⁷ : (-4/5)¹⁵

Привет! Разбираемся с девятым заданием. Тут нужно будет немножко подумать, но всё получится!

1. а) 0,75¹⁰ : (3/4)⁹
   • Сначала переведем 0,75 в дробь: 0,75 = 3/4.
   • Получаем: (3/4)¹⁰ : (3/4)⁹.
   • Это деление степеней с одинаковым основанием. Правило: aⁿ : aᵐ = aⁿ⁻ᵐ.
   • Применяем: (3/4)¹⁰⁻⁹ = (3/4)¹ = 3/4.
2. б) 1,5¹³ : (-1 1/2)¹²
   • Переведем смешанное число в неправильную дробь: 1 1/2 = 3/2.
   • Заметим, что 1,5 = 3/2. А -1 1/2 = -3/2.
   • Получаем: (3/2)¹³ : (-3/2)¹².
   • Здесь нужно быть внимательным со знаками. (-3/2)¹² = (3/2)¹².
   • Теперь у нас: (3/2)¹³ : (3/2)¹².
   • Применяем правило деления степеней: (3/2)¹³⁻¹² = (3/2)¹ = 3/2.
3. в) 20⁶ : (-10)⁵
   • Тут у нас разные основания и разные показатели.
   • Давай представим 20 как 2 * 10.
   • Получаем: (2 * 10)⁶ : (-10)⁵ = 2⁶ * 10⁶ : (-10)⁵.
   • Теперь разделим степени с основанием 10: 10⁶ : (-10)⁵ = 10⁶⁻⁵ * (1 / (-1)) = 10 * (-1) = -10.
   • Итого: 2⁶ * (-10) = 64 * (-10) = -640.
4. г) 0,75⁶ : (-3/8)⁵
   • Переведем 0,75 в дробь: 3/4.
   • Заметим, что -3/8 = -0,375. А 3/4 = 0,75.
   • И -3/8 = -(3/8).
   • И -3/8 = -0.5 * (3/4)
   • И -3/8 = -0.375.
   • Заметим, что 0,75 = 3/4. И -3/8.
   • Попробуем иначе. 0,75 = 6/8.
   • (6/8)⁶ : (-3/8)⁵.
   • Тут показатели разные.
   • Давай попробуем представить 0,75 как 3/4.
   • (3/4)⁶ : (-3/8)⁵.
   • Заметим, что 3/8 = 3/4 * 1/2.
   • И -3/8 = -(3/4) * (1/2).
   • Это сложно. Попробуем найти общий множитель.
   • 0,75 = 3/4.
   • (-3/8) = -3/(2*4).
   • Всё равно сложно.
   • Давай переведем всё в десятичные дроби.
   • 0,75⁶ : (-0,375)⁵.
   • Тут у нас разные основания и показатели.
   • Может, есть какая-то хитрость?
   • Попробуем привести 0,75 к основанию 3/8.
   • 0,75 = 3/4 = 6/8.
   • (6/8)⁶ : (-3/8)⁵.
   • 6⁶ / 8⁶ : (-3)⁵ / 8⁵.
   • (6⁶ / 8⁶) * (8⁵ / (-3)⁵).
   • 6⁶ / (-3)⁵ * (8⁵ / 8⁶).
   • 6⁶ / (-3)⁵ * (1/8).
   • 6⁶ = (2*3)⁶ = 2⁶ * 3⁶.
   • (-3)⁵ = -3⁵.
   • (2⁶ * 3⁶) / (-3⁵ * 8).
   • 2⁶ * 3⁶⁻⁵ / (-8).
   • 2⁶ * 3 / (-8).
   • 64 * 3 / (-8).
   • 192 / (-8) = -24.
5. д) (-37)⁷ : 3,7⁶
   • Тут тоже разные основания и показатели.
   • Заметим, что 3,7 = 37 / 10.
   • (-37)⁷ : (37/10)⁶.
   • (-37)⁷ : (37⁶ / 10⁶).
   • (-37)⁷ * (10⁶ / 37⁶).
   • (-37)⁷ / 37⁶ * 10⁶.
   • (-37)⁷⁻⁶ * 10⁶ = (-37)¹ * 10⁶ = -37 * 1000000 = -37000000.
6. е) 0,8¹⁷ : (-4/5)¹⁵
   • Переведем 0,8 в дробь: 8/10 = 4/5.
   • (-4/5)¹⁵.
   • Получаем: (4/5)¹⁷ : (-4/5)¹⁵.
   • Здесь нам нужно сделать показатели одинаковыми.
   • (4/5)¹⁷ = (4/5)¹⁵ * (4/5)².
   • (-4/5)¹⁵ = (4/5)¹⁵.
   • Теперь пример: (4/5)¹⁵ * (4/5)² : (4/5)¹⁵.
   • Сокращаем (4/5)¹⁵.
   • Остается: (4/5)² = 16/25 = 0,64.

Ответ:

• а) 3/4
• б) 3/2
• в) -640
• г) -24
• д) -37000000
• е) 0,64