1.58. Параллелограммның диагональдары: а) өзара перпендикуляр; ә) бұрыштарының биссектрисасы болады деп алып, оның ромб болатынын дәлелдеңдер.

а) ABCD параллелограмының диагональдары O нүктесінде қиылыссын және AC ⟂ BD болсын.

1. Параллелограмм диагональдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді: AO = OC, BO = OD.
2. Тікбұрышты AOB және COB үшбұрыштарында AO = OC және BO — ортақ катет. Сондықтан олар тең.
3. Олай болса, AB = BC.
4. Параллелограммада қарама-қарсы қабырғалар тең: AB = CD және BC = AD. Демек, барлық қабырғалары тең.

Сондықтан ABCD — ромб.

ә) Егер параллелограмның диагональдары оның бұрыштарының биссектрисалары болса, онда AC диагоналі A бұрышын қақ бөледі. Сондықтан ∠BAC = ∠CAD. Ал параллель қабырғаларға байланысты ∠BAC = ∠ACD, ∠CAD = ∠BCA. Бұдан үшбұрыштардың теңдігінен AB = BC шығады. Параллелограммада қарама-қарсы қабырғалар да тең болғандықтан, AB = BC = CD = DA.

Қорытынды: параллелограмм ромб болады.