1.66. ABCD тіктөртбұрышының диагональдары O нүктесінде қиылысады. 1) AOD және AOB үшбұрыштарының тең бүйірлі екенін дәлелдеңдер; 2) ∠CAD = 30°, AC = 12 см болса, AOB үшбұрышының периметрін табыңдар (1.34-сурет).

1) Тіктөртбұрыштың диагональдары тең және қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді. Сондықтан \(AO=OC\), \(BO=OD\), ал \(AC=BD\). Бұдан \(AO=OD\) және \(AO=BO\). Демек, AOD және AOB үшбұрыштары теңбүйірлі.

2) Диагональдар қақ бөлінетіндіктен, \(AO=BO=\frac{AC}{2}=6\) см.

Тіктөртбұрышта \(AB\perp AD\), ал \(\angle CAD=30^\circ\). Сондықтан диагональ AC пен AB арасындағы бұрыш \(60^\circ\). AOB үшбұрышы теңбүйірлі болғандықтан, оның екі табан бұрышы да 60° болады, яғни ол теңқабырғалы үшбұрыш.

Сондықтан \(AB=AO=BO=6\) см және \(P_{AOB}=6+6+6=18\) см.

Жауап: 18 см.